Question

8．已知椭圆C与椭圆$\frac{x^2}{3}$+y²=1有相同的焦点，且过点（$\sqrt{2}$，1），
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的右顶点为A，若直线y=k（x-1）与椭圆相交于不同的两点M、N，当△AMN的面积为$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{x^2}{3}$+y²=1，可知焦点在x轴上，则求得焦点坐标，设椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-2}}=1（{{a^2}＞2}）$，将点（$\sqrt{2}$，1）代入，即可求得a，求得椭圆C的方程；
（2）由题意可知：将直线方程代入椭圆方程，直线y=k（x-1）一定过点P（1，0），且椭圆C的右顶点为A（2，0），求得|PA|=1，由三角形的面积公式可知${S_{△AMN}}={S_{△PAN}}+{S_{△PAM}}=\frac{1}{2}•|{PA}|•|{{y_1}-{y_2}}|$，由y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），由韦达定理代入即可求得k的值．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{x^2}{3}$+y²=1，可知焦点在x轴上，
a²=3，b²=1，c²=a²-b²=3-1=2，则$c=\sqrt{2}$．
∴椭圆C的两焦点分别为：$（{-\sqrt{2}，0}）$和$（{\sqrt{2}，0}）$，
设椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-2}}=1（{{a^2}＞2}）$，
把$（{\sqrt{2}，1}）$代入方程，得$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{{{a^2}-2}}=1$，
即a⁴-5a²+4=0，
∴a²=4或a²=1（舍），
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，
∵直线y=k（x-1）一定过点P（1，0），
且椭圆C的右顶点为A（2，0），
∴|PA|=1，
∴${S_{△AMN}}={S_{△PAN}}+{S_{△PAM}}=\frac{1}{2}•|{PA}|•|{{y_1}-{y_2}}|$，
=$\frac{1}{2}|{k（{{x_1}-1}）-k（{{x_2}-1}）}|=\frac{1}{2}|{k（{{x_1}-{x_2}}）}|=\frac{|k|}{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，
=$\frac{{|k|•\sqrt{4+6{k^2}}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$，
解得k=±1，
k的值±1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．