Question

13．等腰三角形ABC中，AB=4，AC=BC=3，点E，F分别位于两腰上，E，F将△ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S₁，S₂，则$\frac{S_1}{S_2}$的最大值为$\frac{25}{11}$．

Answer 1

分析 根据条件画出图象，由图求出底边上的高和sinA的值，由正弦定理求出sinC，设CE=x，CF=y，利用三角形的面积公式求出S₁和S₂=S_三角形ABC-S₁，由条件列出方程化简后，根据基本不等式求出xy的范围，代入$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$化简后求出$\frac{S_1}{S_2}$的最大值．

解答 解：设E、F分别在AC和BC上，如图所示：
取AB的中点D，连接CD，
∵AB=4，AC=BC=3，∴CD=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
由$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$得，sinC=$\frac{ABsinA}{BC}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{5}}{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
设CE=x，CF=y，所以S₁=$\frac{1}{2}$xysinC=$\frac{2\sqrt{5}}{9}xy$，
则S₂=S_三角形ABC-S₁=2$\sqrt{5}$-S₁=$2\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{9}xy$，
由条件得x+y=3-x+4-y+3，化简得x+y=5，
则xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=$\frac{25}{4}$，当且仅当x=y=$\frac{5}{2}$ 时取等号，
所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{9}xy}{2\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{9}xy}$=$\frac{xy}{9-xy}$=$\frac{1}{\frac{9}{xy}-1}$≤$\frac{1}{\frac{36}{25}-1}$=$\frac{25}{11}$，
当且仅当x=y=$\frac{5}{2}$ 时取等号，
则$\frac{S_1}{S_2}$的最大值是$\frac{25}{11}$，
故答案为：$\frac{25}{11}$．

点评 本题考查了基本不等式在实际问题中的应用，正弦定理，以及三角形的面积公式，考查化简、变形能力．