【题目】如图1在正方形中,
,
是
的中点,把
沿
折叠,使
为等边三角形,得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(I)取的中点
,连接
,
,证得
和
,证得
平面
,进而得到
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)证得,分别以
,
的方向为
轴,
轴的正方向,过点
垂直于平面
的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,分别求得平面
和平面
的一个法向量,结合向量的夹角公式,即可求解.
(I)依题意,底面是直角梯形,
,
,
取的中点
,连接
,
,
则,
,所以四边形
为矩形,所以
,
因为为等边三角形,所以
,
因为,所以
平面
,
因为平面
,所以
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面
,所以平面
平面
,
点到平面
的距离即点
到
的距离,
因为,
,
,所以
平面
,所以
,
在中,可得
到
的距离为
,
分别以,
的方向为
轴,
轴的正方向,过点
垂直于平面
的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
所以,
,
设平面的一个法向量为
,
所以取
,则
,
而平面的一个法向量为
,
则,
由图可知,二面角为钝角,所以所求的余弦值为
.
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【题目】阿波罗尼斯(约公元前年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点
、
间的距离为
,动点
满足
,则
的最小值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某单位在2019年重阳节组织50名退休职工(男、女各25名)旅游,退休职工可以选择到甲、乙两个景点其中一个去旅游.他们最终选择的景点的结果如下表:
男性 | 女性 | |
甲景点 | 20 | 10 |
乙景点 | 5 | 15 |
(1)据此资料分析,是否有的把握认为选择哪个景点与性别有关?
(2)按照游览不同景点用分层抽样的方法,在女职工中选取5人,再从这5人中随机抽取2人进行采访,求这2人游览的景点不同的概率.
附:,
.
P( | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知多面体ABCDEF中,四边形ABFE为正方形,,
,G为AB的中点,
.
(1)求证:平面CDEF;
(2)求平面ACD与平面BCF所成锐二面角的余弦值.
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【题目】已知圆与椭圆
相交于点M(0,1),N(0,-1),且椭圆的离心率为
.
(1)求的值和椭圆C的方程;
(2)过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A,B两点.
①若,求直线
的方程;
②设直线NA的斜率为,直线NB的斜率为
,问:
是否为定值? 如果是,求出定值;如果不是,说明理由.
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【题目】某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为( )
A.B.
C.
D.
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