【题目】已知函数,其中e为自然对数的底数.
(1)若函数的极小值为
,求
的值;
(2)若,证明:当
时,
成立.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,分和
两种情况讨论,当
时可得到
,令
,根据函数的单调性求出a的值即可;
(2)要证原不等式即证,然后利用导数分别证明不等式
和
即可.
(1)函数的定义域是R,
时,
对
恒成立,
∴在R上单调递减,函数无极值,
时,令
,解得:
,
令,解得:
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴时,
取极小值-1,
∴,即
,
令,
则
∵,∴
,∴
在
上单调递增,
∵,∴
;
(2)∵,∴
∴,
令
∴,
令,
,
,
令,解得:
,令
,解得:
,
故在
上单调递减,在
上单调递增,
∴时,
取得极小值,
又∵,
,
∴存在使得
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
∵,∴
,
∴时,
,即
,
令,
则对于
恒成立,
∴在
上单调递增,
∴,即当
时,
,
∴时,
,
∴
故时,
成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖,在评奖揭晓前,甲,乙,丙,丁四位同学对这四件参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”; 乙说:“
作品获得一等奖”;
丙说:“ 两件作品未获得一等奖”; 丁说:“是
作品获得一等奖”.
评奖揭晓后,发现这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是_________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某部门在上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,单位:分钟)将统计数据按,
,
,…,
分组,制成频率分布直方图如图所示:
(1)求a的值;
(2)记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”试估计A的概率;
(3)假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计,记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,求
的值,并直接写出
与
的大小关系.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【题目】随着现代电子技术的迅猛发展,关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论.在可靠性理论中,一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性.元件组成系统,系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.现有(
,
)种电子元件,每种2个,每个元件的可靠性均为
(
).当某元件不能正常工作时,该元件在电路中将形成断路.现要用这
个元件组成一个电路系统,有如下两种连接方案可供选择,当且仅当从A到B的电路为通路状态时,系统正常工作.
(1)(i)分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性、
(用
和
表示);
(ii)比较与
的大小,说明哪种连接方案更稳定可靠;
(2)设,
,已知按方案②建立的电路系统可以正常工作,记此时系统中损坏的元件个数为
,求随机变量
的分布列和数学期望.
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