Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-4）²+（y-3）²=4，点A、B在圆C上，且|AB|=2$\sqrt{3}$，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的最小值是8．

Answer 1

分析 设出E点的坐标，表示出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$的模，结合三角函数的性质求出最小值即可．

解答 解：设AB的中点为D，则CD=1，
延长CD交圆C于点E，则D为CE的中点，
∵$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}}|$=$|{2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}}|$，
设E（4+2cosθ，3+2sinθ），
∴$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{（8，6）+（2cosθ，2sinθ）}|$
=|（8+2cosθ，6+2sinθ）|
=$\sqrt{{{（8+2cosθ）}^2}+{{（6+2sinθ）}^2}}$
=$\sqrt{104+8（3sinθ+4cosθ）}$
=$\sqrt{104+40sin（θ+φ）}≥\sqrt{104-40}=8$．

点评 本题考查了向量的运算，考查三角函数问题，是一道中档题．