Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若等比数列{b_n}的各项都是正数，

Sn

2

=15，

S2n

2

=255，且在前n项和中，最大项为16，令C_n=a_n•b_n，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得（1+3d）²=（1+d）（1+7d），解得d=1，或d=0（舍），由此求出a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）设{bn}的公比为q，由已知条件得S2n=

b1(1-q2n)

1-q

=510，Sn=

b1(1-qn)

1-q

30，两式相除，得1+qⁿ=17，由在前n项和中，最大项为16，解得得b₁=q=2，b_n=2ⁿ．c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{C_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
解得d=1，或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）设{bn}的公比为q，
∵

Sn

2

=15，

S2n

2

=255，
∴S2n=

b1(1-q2n)

1-q

=510，Sn=

b1(1-qn)

1-q

30，
两式相除，得1+qⁿ=17，
∴b_n=b1qn-1=

b1

q

•qn16•

b1

q

，
∵在前n项和中，最大项为16，
∴只有

b1

q

=1时最大，故b₁=q时取得．
将所得结果代入到

Sn

2

=15，求得b₁=q=2，b_n=2ⁿ．
c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．