Question

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求二面角M-AC-B的余弦值；
（Ⅱ）求点C到面MAB的距离．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出二面角M-AC-B的余弦值．
（Ⅱ）求出平面MAB的一个法向量，利用向量法能求出点C到平面MAB的距离．

解答： 解：（Ⅰ）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC．
在平面ABC内，过C作CD⊥CB，
建立空间直角坐标系C-xyz（如图）
由题意有A(

3

2

，-

1

2

，0)，设P（0，0，z₀）（z₀＞0），
则M(0，1，z0)，

AM

=(

3

2

，-

1

2

，z0)，

CP

=(0，0，z0)
由直线AM与直线PC所成的角为60⁰，
得

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|•cos600，
即z02=

π

2

z02+3

•z0，解得z₀=1
∴

CM

=(0，0，1)，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，
设平面MAC的一个法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

y1+z1=0 3 2 y1- 1 2 z1=0

，取x₁=1，得

n1

=(1，

3

，-

3

)，
平面ABC的法向量取为

n2

=(0，0，1)
设

n1

与

n2

所成的角为θ，则cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

- 3

7

．
二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的余弦值为

21

7

．…（5分）
（Ⅱ）M（0，1，1），A(-

3

2

，-

1

2

，0)，B（0，2，0），
∴

AM

=(

3

2

，

3

2

，1)，

MB

=(0，1，-1)．
设平面MAB的一个法向量

m

=(x2，y2，z2)，
则

3 2 x2+ 3 2 y2+z2=0 y2-z2=0

，
取z₂=1，得

m

=(

5

3

，-1，-1)，
则点C到平面MAB的距离d=

| CB • m |

| m |

=

2 93

31

．…（10分）

点评：本题考查二面角的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．