Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且AD=

2

PA=

2

PD．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD
（2）在线段AB上是否存在点G，使得平面PCD与平面PGD夹角的余弦值为

1

3

？若存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．
（2）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为

1

3

，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD
ABCD为正方形，CD⊥AD，CD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA．
又∵AD=

2

PA=

2

PD．
∴PA=PD=

2

2

AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD=90°，
即PA⊥PD
CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
∴面PAB⊥面PDC．
（2）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，
面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

2

AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．
以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1）．
若在AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为

1

3

，
连结PG，DG
设G（1，a，0）（0≤a≤2）．
由以上知平面PDC的法向量为

PA

=（1，0，-1）．
设平面PGD的法向量为

n

=（x，y，z）．
∵

DP

=（1，0，1），

GD

=（-2，-a，0），
∴由

n • DP =x+z=0 n • GD =-2x-ay=0

，
令x=1，则y=-

2

a

，z=-1，
故

n

=（1，-

2

a

，-1），
∴cos＜

n

，

PA

＞=

2

2 • 2+ 4 a2

=

1

3

，
解得a=

1

2

．
则在线段AB上存在点G（1，

1

2

，0），使得二面角C-PD-G的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定以及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力．建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．