【题目】椭圆 (a>b>0)与x轴,y轴的正半辆分别交于A,B两点,原点O到直线AB的距离为
,该椭圆的离心率为
. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点 的直线l与椭圆交于两个不同的点M,N,求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)设直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0
∵原点O到直线AB的距离为 ,∴
①
∵椭圆的离心率为 ,∴
②
由①②可得:a=2,b=1
∴椭圆的方程为 ;
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,线段MN的垂直平分线的纵截距为0
当直线斜率k存在时,设直线l的方程为 ,代入
,消去y得(9+36k2)x2+120kx+64=0
∵△=14400k2﹣256(9+36k2)>0,∴
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x0,y0)
∴ =
,
∴Q
∴线段MN的垂直平分线方程为
令x=0,则y= ,
由 ,可得﹣
∴线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围为
【解析】(Ⅰ)设直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0,利用原点O到直线AB的距离为 ,椭圆的离心率为
,建立方程可求a、b的值,从而可得椭圆的方程;(Ⅱ)当直线斜率不存在时,线段MN的垂直平分线的纵截距为0;当直线斜率k存在时,设直线l的方程为
,代入
,消去y得(9+36k2)x2+120kx+64=0,进而可求线段MN的垂直平分线方程,由此即可求得线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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【题目】直线l1 , l2分别是函数f(x)=sinx,x∈[0,π]图象上点P1 , P2处的切线,l1 , l2垂直相交于点P,且l1 , l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积为
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【题目】2015年12月,京津冀等地数城市指数“爆表”,北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表:
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
车流量x(万辆) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
PM2.5的浓度y(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(Ⅰ)由散点图知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)(ⅰ)利用(Ⅰ)所求的回归方程,预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度;
(ⅱ)规定:当一天内PM2.5的浓度平均值在(0,50]内,空气质量等级为优;当一天内PM2.5的浓度平均值在(50,100]内,空气质量等级为良.为使该市某日空气质量为优或者为良,则应控制当天车流量在多少万辆以内?(结果以万辆为单位,保留整数.)
参考公式:回归直线的方程是 =
x+
,其中
=
,
=
﹣
.
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【题目】如图1所示,在直角梯形 中,
,
,
,
,
,
.将
沿
折起,使得点
在平面
的正投影
恰好落在
边上,得到几何体
,如图2所示.
(1)求证: ;
(2)求点 到平面
的距离.
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【题目】下列命题中正确的是( )
A.经过点P0(x0 , y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
C.经过任意两个不同点P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)的直线都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示
D.不经过原点的直线都可以用方程 表示
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【题目】如图, 是圆柱的母线,
是
的直径,
是底面圆周上异于
的任意一点,
,
.
(1)求证:
(2)当三棱锥 的体积最大时,求
与平面
所成角的大小;
(3) 上是否存在一点
,使二面角
的平面角为45°?若存在,求出此时
的长;若不存在,请说明理由.
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