【题目】如图, 是圆柱的母线,
是
的直径,
是底面圆周上异于
的任意一点,
,
.
(1)求证:
(2)当三棱锥 的体积最大时,求
与平面
所成角的大小;
(3) 上是否存在一点
,使二面角
的平面角为45°?若存在,求出此时
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵ 平面
,
平面
∴ ,又
,
∴ 平面
又∵ 平面
,
∴平面 平面
,
而平面 平面
,
∴ 平面
,而
平面
,
∴
(2)解:设 ,在
中,
∵ 平面
,
∴ 是三棱锥
的高
因此三棱锥 的体积为
∵ ,
,
∴当 ,即
时,三棱锥
体积的最大值为
此时 为等腰直角三角形,
∴ 与平面
所成角度为45°
(3)解:存在这样的点 且
,理由如下:
记 的中点为
,连接
,
∵ 为等腰直角三角形
∴ ,由(1)知
,
∴ 平面
,
又 平面
,∴
∴ 是二面角
的平面角,即
为等腰直角三角形,
,
∴
在 中,
在 和
中,可解得
,
【解析】(1)根据圆的直径所对圆周角为直角,以及SA与平面ABC垂直的性质,得到直线BC与平面SAC垂直,证明平面SBC与平面SAC垂直,再利用线面垂直的性质证明结论。
(2)设 AC=x ,用x表示出三棱锥S-ABC的体积,利用二次函数的最值问题,求出结果。
(3)取SB的中点E,分别连接AE,DE,根据AD与平面SBC垂直,AD与SB垂直,证明SB与平面ADE垂直,证明 是二面角 A-SB-C 的平面角,求出结果。
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【题目】椭圆 (a>b>0)与x轴,y轴的正半辆分别交于A,B两点,原点O到直线AB的距离为
,该椭圆的离心率为
. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点 的直线l与椭圆交于两个不同的点M,N,求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|= |PQ|. (Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.
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【题目】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为
(1)求频率分布图中 的值,并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(2)从评分在 的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在
的概率.
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【题目】一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.
转速x(转/秒) | 16 | 14 | 12 | 8 |
每小时生产有缺损零件数y(个) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)作出散点图;
(2)如果y与x线性相关,求出回归直线方程;
(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?
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【题目】某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A.60
B.80
C.120
D.180
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【题目】已知椭圆 的右焦点为F(1,0),且点
在椭圆C上,O为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.
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【题目】如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
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