Question

【题目】如图， 是圆柱的母线， 是 的直径， 是底面圆周上异于 的任意一点， ， .

（1）求证：
（2）当三棱锥 的体积最大时，求 与平面 所成角的大小；
（3） 上是否存在一点 ，使二面角 的平面角为45°？若存在，求出此时 的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 平面 ， 平面
∴ ，又 ，
∴ 平面
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ，
而平面 平面 ，
∴ 平面 ，而 平面 ，
∴
（2）解：设 ，在 中，
∵ 平面 ，
∴ 是三棱锥 的高
因此三棱锥 的体积为


∵ ， ，
∴当 ，即 时，三棱锥 体积的最大值为
此时 为等腰直角三角形，
∴ 与平面 所成角度为45°
（3）解：存在这样的点 且 ，理由如下：
记 的中点为 ，连接 ，
∵ 为等腰直角三角形
∴ ，由（1）知 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴
∴ 是二面角 的平面角，即
为等腰直角三角形， ，
∴
在 中，
在 和 中，可解得 ，
【解析】（1）根据圆的直径所对圆周角为直角，以及SA与平面ABC垂直的性质，得到直线BC与平面SAC垂直，证明平面SBC与平面SAC垂直，再利用线面垂直的性质证明结论。
（2）设 AC=x ，用x表示出三棱锥S-ABC的体积，利用二次函数的最值问题，求出结果。
（3）取SB的中点E，分别连接AE，DE，根据AD与平面SBC垂直，AD与SB垂直，证明SB与平面ADE垂直，证明 是二面角 A-SB-C 的平面角，求出结果。