Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），

可得x0= ，∵点P（0，4），∴|PQ|= ．

又|QF|=x0+ = + ，|QF|= |PQ|，

∴ + = × ，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．

故C的方程为 y2=4x．

（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），

设l的方程为 x=my+1（m≠0），

代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|= |y1﹣y2|= =4（m2+1）．

又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣ y+2m2+3．

过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，

把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4= ，y3y4=﹣4（2m2+3）．

故线段MN的中点E的坐标为（ +2m2+3， ），∴|MN|= |y3﹣y4|= ，

∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，

∴ +DE2= MN2，

∴4（m21）2 + + = × ，化简可得 m2﹣1=0，

∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0

【解析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0= ，根据|QF|= |PQ|求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．