【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,左项点为
上顶点为
.已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆
上在第一象限内一点,射线
与椭圆
的另一个公共点为
,满足
,直线
交
轴于点,
的面积为
.
(i)求椭圆的方程.
(ii)过点作不与
轴垂直的直线
交椭圆
于
(异于点
)两点,试判断
的大小是否为定值,并说明理由.
【答案】(1);(2)(i)
(ii)
是定值,证明见解析.
【解析】
(1)根据,得到
,
之间的关系,从而得到离心率
;(2)(i)设椭圆方程为
,根据
,得到
,代入椭圆方程得
,从而得到直线
的方程和
点坐标,表示出
的面积,解出
,得到椭圆方程;(ii) 设直线
的方程为:
,与椭圆联立得到
,
,对
进行计算化简,从而得到
,是定值.
(1),
,则
因为,
所以
解得,
所以.
(2)(i)由(1)得
,即
,
设椭圆的标准方程为.
由题意设,所以
,
由,易知
,
所以,得
,
代入椭圆方程得,
所以
所以,直线
,
令得
所以,
所以,
解得,
所以椭圆的方程为
(ii)显然点在椭圆
内部,直线
的斜率存在且不为
.
设直线的方程为:
联立方程,化简得
,
设,
则,
又,则
,
,
所以是定值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
(1)若将频率是为概率,从这个水果中有放回地随机抽取
个,求恰好有
个水果是礼品果的概率.(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案:不分类卖出,单价为
元
.
方案:分类卖出,分类后的水果售价如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
售价(元/kg) | 16 | 18 | 22 | 24 |
从采购单的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层抽样的方法从这个水果中抽取
个,再从抽取的
个水果中随机抽取
个,
表示抽取的是精品果的数量,求
的分布列及数学期望
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.
(1)设,判断
在
上是否为有界函数,若是,请说明理由,并写出
的所有上界
的集合;若不是,也请说明理由;
(2)若函数在
上是以
为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线
相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过
轴上的定点?试证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(1)设椭圆与双曲线
有相同的焦点
、
,
是椭圆
与双曲线
的公共点,且△
的周长为6,求椭圆
的方程;我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”;
(2)如图,已知“盾圆”的方程为
,设“盾圆
”上的任意一点
到
的距离为
,
到直线
的距离为
,求证:
为定值;
(3)由抛物线弧(
)与第(1)小题椭圆弧
(
)所合成的封闭曲线为“盾圆
”,设过点
的直线与“盾圆
”交于
、
两点,
,
,且
(
),试用
表示
,并求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张,为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列,每年发放电动型汽车牌照数为构成数列
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
(2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
|
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【题目】已知是数列
的前
项和,对任意
,都有
;
(1)若,求证:数列
是等差数列,并求此时数列
的通项公式;
(2)若,求证:数列
是等比数列,并求此时数列
的通项公式;
(3)设,若
,求实数
的取值范围.
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【题目】“互联网+”是“智慧城市”的重要内容,A市在智慧城市的建设中,为方便市民使用互联网,在主城区覆盖了免费WiFi为了解免费WiFi在A市的使用情况,调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人):
经常使用免费WiFi | 偶尔或不用免费WiFi | 合计 | |
45岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
45岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,判断是否有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关;
(2)将频率视为概率,现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次.记被抽取的3人中“偶尔或不用免费WiFi”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,数学期望E(X)和方差D(X).附:,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.
(1)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率?
(2)若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人,设选到的男学生人数为,求随机变量
的分布列和数学期望;
(3)试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差
的大小(只需写出结论).
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