【题目】已知,动点
满足
,且
,则
在
方向上的投影的取值范围是__________.
【答案】.
【解析】分析:方法一,根据已知条件计算和
,结合数量积公式得到
在
方向上的投影为
(也可以建立直角坐标系,通过向量的坐标运算求解
),然后对
分类讨论,运用换元法计算即可解答题目.
方法二,几何法,根据已知条件,得为等边三角形,再将.
,转换成
,且
,确定点M的位置,结合图形和数量积的几何意义解答问题.
详解:方法一,,
,
,
在
方向上的投影
设,
(1)当时,
(2)当,则
①当时,
,
,当
时取得最大值.
②当时,
,
,
时
综上在
方向上的投影的取值范围为
故答案为
方法二,
,
,
,
为等边三角形.
设,易得
为直角三角形.
,且
,
,且
点
在直线BD上.
如图所示,点在直线BD上由左至右移动过程中,
在
方向上的投影先增大在减小
当时,
在
方向上的投影取得最大值2;
当在右侧无穷远处,近似于
,
在
方向上的投影最小值接近于
所以在
方向上的投影的取值范围为
故答案为
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【题目】对于区间,若函数
同时满足:①
在
上是单调函数;②函数
,
的值域是
,则称区间
为函数
的“保值”区间.
(1)求函数的所有“保值”区间.
(2)函数是否存在“保值”区间?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
分别为
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)如果直线与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等,求
的值.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
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【题目】(改编)已知正数数列的前
项和为
,且满足
;在数列
中,
(1)求数列和
的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
. 若对任意
,存在实数
,使
恒成立,求
的最小值;
(3)记数列的前
项和为
,证明:
.
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【题目】已知圆,直线
(1)若直线与圆
相交于两点
,弦长
等于
,求
的值;
(2)已知点,点
为圆心,若在直线
上存在定点
(异于点
),满足:对于圆
上任一点
,都有
为一常数,试求所有满足条件的点
的坐标及改常数.
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