Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，，E为PC的中点．

证明：平面PAD；

求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

设F为PD的中点，连接EF，证明，推出四边形ABEF为平行四边形，所以然后证明平面PAD．

取AB中点M，连接DM，证明，以DM、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，平面PCD的一个法向量，设二面角的平面角为，利用空间向量的数量积求解即可

证明：设F为PD的中点，连接EF，FA．

因为EF为的中位线，所以，

且．

又，，所以，且

故四边形ABEF为平行四边形，所以．

又平面PAD，平面PAD，所以平面

解：取AB中点M，连接DM

，，

为等边三角形

从而，中线，且，

又，故D

如图所示，

以DM、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

，

，4，，0，

于是，

设平面PBC的一个法向量为y，

则，，从而，

，解得

令，得，且

易知，平面PCD的一个法向量为，且

设二面角的平面角为，

则．