Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{lnx+{{（x-b）}^2}}}{x}$，若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得xf'（x）+f（x）＞0，则实数b的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{3}{2}）$
• B． $（-∞，\frac{3}{2}]$
• C． $（-∞，\frac{9}{4}）$
• D． $（-∞，\frac{9}{4}]$

Answer 1

分析 求导函数，问题化简转化为b＜x+$\frac{1}{2x}$，设g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，只需b＜g（x）_max，结合函数的单调性可得函数的最大值，故可求实数b的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{lnx+{{（x-b）}^2}}}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1+2x（x-b）-lnx-（{x-b）}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f（x）+xf′（x）=$\frac{1+2x（x-b）}{x}$，
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
∴1+2x（x-b）＞0
∴b＜x+$\frac{1}{2x}$，
设g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，
∴b＜g（x）_max，
∴g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
当g′（x）=0时，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当g′（x）＞0时，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤2时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数单调递减，
∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=$\frac{9}{4}$，
∴b＜$\frac{9}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．