Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，x∈R．
（Ⅰ）分别求出f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值；
（Ⅱ） 根据（Ⅰ）归纳猜想出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）的值，并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，x∈R，利用代入法能求出f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值．
（Ⅱ）猜想：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．再利用函数性质进行证明．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，x∈R，
∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{1+4}+\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{1+4}+\frac{1}{4+1}$=1，
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{9}{1+9}+\frac{\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{9}{1+9}+\frac{1}{9+1}$=1，
f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{16}{1+16}+\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}$=$\frac{16}{1+16}+\frac{1}{16+1}$=1．
（Ⅱ）猜想：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．
证明：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，x∈R，
∴$f（x）+f（\frac{1}{x}）$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．