Question

已知

a

+

b

+

c

=

0

，|

a

|=3，|

b

|=5，|

c

|=7
（1）求

a

与

b

的夹角θ的余弦值；
（2）求实数k，使k

a

+

b

与

a

-2

b

垂直．

Answer 1

分析：（1）先将等式变形，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的数量积公式求出夹角；
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，将向量的模、夹角代入，解方程求出k．

解答：解：（1）∵

a

+

b

+

c

=

0

，
∴

a

+

b

=-

c

∴

a

2+2

a

•

b

+

b

2=

c

2
∵|

a

|=3，|

b

|=5，|

c

|=7
∴2

a

•

b

=15
2×3×5cosθ=15
∴cosθ=

1

2

∴θ=

π

3

（2）(k

a

+

b

)⊥ (

a

-2

b

)∴(k

a

+

b

)• (

a

-2

b

)=0
即k

a

2+

a

•

b

-2k

a

•

b

-2

b

2=0
∵|

a

|=3，|

b

|=5，|

c

|=7，θ=

π

3

∴k=-

85

12

点评：本题考查向量的性质：向量的模的平方等于向量的平方；向量的数量积公式；向量垂直的充要条件．