Question

已知实数a，b满足log 

1

2

a=log 

1

3

b，下列五个关系式：
①a＞b＞1
②0＜b＜a＜1
③b＞a＞1 
④0＜a＜b＜1
⑤a=b
其中不可能成立的关系有（　　）

• A、1 个
• B、2 个
• C、3 个
• D、4个

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：化简log 

1

2

a=log 

1

3

b，得

lga

lg2

=

lgb

lg3

；
讨论①中，举反例说明等式不成立；
②中，举例说明等式成立；
③中，推到出等式成立；
④中，举反例说明等式不成立；
⑤中，举例说明等式成立．

解答： 解：∵实数a，b满足log 

1

2

a=log 

1

3

b，
即

lga

lg 1 2

=

lgb

lg 1 3

，∴

lga

-lg2

=

lgb

-lg3

，∴

lga

lg2

=

lgb

lg3

；
对于①，当a=3，b=2时，

lg3

lg2

≠

lg2

lg3

，即log

1

2

3≠log

1

3

2，∴①不成立；
对于②，当a=

1

2

，b=

1

3

时，log

1

2

1

2

=log

1

3

1

3

=1，等式成立，∴②成立；
对于③，由lg2＜lg3，当0＜lga＜lgb，即1＜a＜b时，等式成立，∴③成立；
对于④，当a=

1

3

，b=

1

2

时，

lg 1 3

lg 1 2

≠

lg 1 2

lg 1 3

，即log

1

2

1

3

≠log

1

3

1

2

，∴④不成立；
对于⑤，当a=b=1时，log 

1

2

1=log 

1

3

1=0，等式成立，∴⑤成立；
所以，以上等式不可能成立的是①④．
故选：B．

点评：本题考查了对数的运算性质以及不等式的基本性质的应用问题，解题时应通过证明或者举例的方法进行逐一验证，是综合题．