Question

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（　　）

• A、

  8π

  3

• B、

  16π

  3

• C、

  48π

  3

• D、

  64π

  3

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2

3

，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算．

解答： 解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2

3

，如图：

其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2

3

，
其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，
则

4+x2

=2

3

-x⇒x=

2 3

3

，∴外接球的半径R=

4 3

3

，
∴几何体的外接球的表面积S=4π×

16

3

=

64

3

π．
故选：D．

点评：本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，考查了学生的空间想象能力及作图能力，判断几何体的特征及利用特征求外接球的半径是关键．