Question

已知A、B是抛物线y²=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；
（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的距离的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点M（4，0）．
（II）P（）到直线x-y=0的距离d=，由此能求出点P到直线x-y=0的距离的最小值．
解答：解：（I）设直线AB方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OA⊥OB，，，
∴k_OA•k_OB===-=-1，b=4．
于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）．
（II）P（）到直线x-y=0的距离
d=
=
=
=
=+，
当m=时，d取最小值．
点评：本题考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．