Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点在上，且．

（1）点在上，，求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）先证明四边形为平行四边形，得，则，又可得，即可证明平面；

（2）根据线面角定义找出与平面所成角，得的长度，然后建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）∵，，∴，

∵底面是直角梯形，，，

∴，即，则，

∵，，∴，

∴四边形是平行四边形，则，∴，

∵底面，∴，

∵，∴平面．

（2）∵，，∴平面，则为直线与平面所成的角，

则，即，

取的中点为，连接，则，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

设平面的法向量，则，

即，令，则，，∴，

∵是平面的一个法向量，∴，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．