Question

1．已知三棱锥A-BCD中，DA⊥平面BCD，底面△BCD为等边三角形，且BC=2，AD=2$\sqrt{3}$，则此三棱锥的外接球的表面积为$\frac{52}{3}$π．

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以DA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥A-BCD外接球的表面积．

解答 解：根据已知中底面△BCD是边长为2的正三角形，DA⊥平面BCD，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以DA为高的正三棱柱的外接球
∵△BCD是边长为2的正三角形，
∴△BCD的外接圆半径r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
球心到△BCD的外接圆圆心的距离d=$\sqrt{3}$，
故球的半径R=$\sqrt{3+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{\frac{13}{3}}$，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=$\frac{52}{3}$π，
故答案为：$\frac{52}{3}$π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，正确求出球的半径R是解答的关键．