Question

7．已知函数f（x）=$\frac{2x+4}{x+1}$．
（1）求f（x）的定义域，对称中心及单调区间；
（2）令g（x）=f（x）+x，证明：g（x）在（$\sqrt{2}$-1，+∞）上单调递增；
（3）不等式|f（x）|＜2a+1恰有两个整数解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由分母不为0，求出函数的定义域即可，将f（x）变形，从而求出函数的对称中心和单调区间；
（2）通过求导证明即可；（3）问题转化为解不等式2＜2a+1＜5，解出即可．

解答 解：（1）∵x+1≠0，∴x≠-1，
∴f（x）的定义域是{x|x≠-1}，
由f（x）=$\frac{2x+4}{x+1}$=$\frac{2（x+1）+2}{x+1}$=2+$\frac{2}{x+1}$，
得：函数的对称中心是（-1，2），
∴函数在（-∞，-1），（-1，+∞）上递减；
（2）g（x）=f（x）+x=x+2+$\frac{2}{x+1}$，
g′（x）=1-$\frac{2}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{（x+1）}^{2}-2}{{（x+1）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，即（x+1）²-2＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$-1或x＜-$\sqrt{2}$-1，
∴g（x）在（$\sqrt{2}$-1，+∞）上单调递增；
（3）不等式|f（x）|＜2a+1恰有两个整数解，
而函数的对称中心是（-1，2），
∴2＜2a+1＜5，解得：$\frac{1}{2}$＜a＜2．

点评 本题考查了函数的定义域、对称中心、单调性问题，考查不等式的解集问题，考查转化思想，是一道中档题．