Question

（1）已知曲线y=x²-1与y=1+x³，在x=x₀处切线垂直，求x₀的值；
（2）过点（-1，0）作抛物线y=x²+x+1的切线，求切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：（1）分别求出两个函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直的条件，得到方程，解得即可；
（2）设出切点，求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，代入点（-1，0），得到方程，解方程，求得切点，即可得到切线方程．

解答： 解：（1）y=x²-1的导数为y′=2x，切线的斜率为2x₀，
y=1+x³的导数为y′=3x²，切线的斜率为3x₀²，
由于在x=x₀处切线垂直，则有2x₀•3x₀²=-1，
解得，x₀=-

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；
（2）设切点为（m，n），则n=m²+m+1，
y=x²+x+1的导数为y′=2x+1，
则切线的斜率为2m+1，
切线方程为y-n=（2m+1）（x-m），
代入（-1，0），得-n=-（1+m）（1+2m）
=-（m²+m+1），解得m=0或-2．
则切点为（0，1），或（-2，3）．
则所求的切线方程为y=x+1或y=-3x-3．

点评：本题考查函数的切线问题，由导数的几何意义得到切线的斜率是解决问题的关键，同时注意切点，属基础题和易错题．