Question

【题目】如图，已知BD为圆锥AO底面的直径，若，C是圆锥底面所在平面内一点，，且AC与圆锥底面所成角的正弦值为.

（1）求证：平面平面ACD；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）首先找到AC与圆锥底面所成角，求出，可得，结合圆锥的性质，可证明平面AOC，进而可得平面平面ACD；

（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量和平面ABD的一个法向量，通过夹角公式，可求得两法向量的夹角，进而得到二面角的平面角的余弦值；解法二：过点O作交于F.过F作交DC于H，连接HO，

得为二面角的平面角，通过三角形的边角关系求出的余弦.

（1）证明：由及圆锥的性质，

所以为等边三角形，圆O所在平面，

所以，是AC与底面所成角，

又AC与底面所成的角的正弦值为，

在中，，，

由，，

在中，，

所以，

圆锥的性质可知：圆O所在平面，

因为圆O所在平面，所以，

又AO，平面AOC，所以平面AOC，

又平面ACD，

故平面平面ACD；

（2）解法一：在圆O所在平面过点O作BD的垂线交圆O于点E，以O为坐标原点，OE为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立如图空间直角坐标系，

由题可知，，，，

由，，

所以，

设平面ACD的一个法向量为，

因为，，

所以

取，则，

平面ABD的一个法向量为，

所以，

二面角的平面角的余弦值为.

解法二：过点O作交于F.过F作交DC于H，连接HO，

所以为二面角的平面角，

在中，因为，，

所以，，

因为，

所以，即

则，

故C是HD的中点，

所以，

在中，，

即，

所以.