Question

4．已知三棱柱ADE-BCF如图所示，其中M，N分别是AF，BC的中点，且平面ABCD⊥底面ABEF，AB=AD=AE=BF=BC=2．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
（2）根据锥体的体积公式先求出锥体的底面积和高即可．

解答 （1）证明：由AB=BC=BF=2，DE=CF=2$\sqrt{2}$，∠CBF=$\frac{π}{2}$．
取BF的中点G，连接MG，NG，
由M，N分别为AF，BC的中点可得，
NG∥CF，MG∥EF，且NG∩MG=G，CF∩EF=F，
∴平面MNG∥平面CDEF，
又MN?平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．-------------------------（6分）

（2）取DE的中点H．∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE-BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF=DE．
∴AH⊥平面CDEF．
∴多面体A-CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH=$\sqrt{2}$．
S_矩形CDEF=DE•EF=4$\sqrt{2}$，
∴棱锥A-CDEF的体积为V=$\frac{1}{3}$•S_矩形CDEF•AH=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．----（12分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间锥体的体积的计算，根据相应的判定定理和体积公式是解决本题的关键．