Question

17．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）当a=1时，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≤3就是|x-a|≤3，求出它的解集，与{x|-1≤x≤5}相同，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）≤3得|x-a|≤3，
解得a-3≤x≤a+3．
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
所以a-3=-1且a+3=5，解得a=2．（6分）
（2）当a=1时，f（x）=|x-1|．
设g（x）=f（x）+f（x+5）=|x-1|+|x+4|，
所以当x＜-4时，g（x）＞5；
当-4≤x≤1时，g（x）=5；
当x＞1时，g（x）＞5．
综上可得，g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）+f（x+5）≥m
即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（-∞，5]．（12分）

点评 本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，