Question

7．已知函数f（x）=|cosx|sinx，给出下列五个说法：
①f（$\frac{82}{3}$π）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；
②若|f（x₁）|=|f（x₂）|，则x₁=x₂+kπ（k∈Z）；
③f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上单调递增；
④函数f（x）的周期为π．
⑤f（x）的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是①③．

Answer 1

分析 根据三角函数的性质，依次对各选项进行判断．

解答 解：由题意函数f（x）=|cosx|sinx=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}sin2x（2kπ+\frac{π}{2}≤x≤2kπ+\frac{3π}{2}）}\\{\frac{1}{2}sin2x（2kπ-π≤x≤2kπ+\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$（k∈Z）；
对于①：f（$\frac{82}{3}$π）=|cos$\frac{82}{3}π$|sin$\frac{82}{3π}$=）=|cos（$27π+\frac{π}{3}$）|sin（27π$+\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{1}{2}）$=-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；所以①对
对于②：若|f（x₁）|=|f（x₂）|，当x₂=$\frac{π}{4}$，x₁=$\frac{3π}{4}$时，成立，则x₁=x₂+$\frac{π}{2}$，所以②不对
对于③f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上时，f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，可得2x∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上是单调递增；所以③对．
对于④：函数f（x）=|cosx|sinx，则f（x+π）=|cos（x+π）|sin（x+π）=-（|cosx|sinx）=-f（x），可得函数f（x）的周期不是π．所以④不对．
对于⑤：由于f（$\frac{π}{2}+x$）=|cos（x+$\frac{π}{2}$）|sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx•|sinx|，f（$\frac{π}{2}-x$）=|cos（-x+$\frac{π}{2}$）|sin（-x+$\frac{π}{2}$）=cosx•|sinx|
则：f（$\frac{π}{2}+x$）=f（$\frac{π}{2}-x$）图象关于x=$\frac{π}{2}$对称．所以⑤不对．
综上所得：①③正确，②④⑤不对．
故答案为：①③．

点评 本题考查了三角函数的图象及性质的综合运用能力和计算能力．体现了转化的思想．属于中档题．