Question

【题目】.已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求证：函数恰有两个零点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）将代入函数的解析式得，求出和的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）可得出，利用导数分析函数在区间上的单调性，利用零点存在定理证明出函数在区间上有且只有一个零点，从而可证明出结论成立.

（1）当时，，则，，.

因此，曲线在点处的切线方程为，即；

（2），则.

，则，令，得，列表如下：

		极大值

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.

令，，则，

所以，函数在上单调递增，则，

，且，

所以，函数在区间上有一个零点，

，所以，函数在区间上单调递减，

当时，则，所以，函数在区间上没有零点.

综上所述，函数恰有两个零点.