【题目】设为奇函数,a为常数.
(1)求a的值;
(2)判断函数在
时单调性并证明;
(3)若对于区间上的每一个x的值,不等式
恒成立,求m取值范围.
【答案】(1)(2)函数
在
上为增函数,证明见解析(3)
【解析】
(1)根据f(x)为奇函数,可得f(x)+f(-x)=0,然后化简求出a的值;
(2)直接利用作差法证明对且
,
恒成立即可;
(3)不等式恒成立,只需
,求出
在[3,4]上的最小值即可得到m的取值范围.
解:(1)因为f(x)是奇函数,所以,
即对定义域内的任意x恒成立,
化简得,所以
.
当时,真数
,不符合题意,
当时,
为奇函数,
所以a=-1;
(2)由(1)得.设
,则
.
下面判断与1的大小.
因为,且
,
所以,即
.
又,所以
,所以
.
又,所以
,即
,
所以函数在
上为增函数;
(3)由已知,得.
由(2)知在
上递增,又
在
上递增,
所以在
上递增.
所以,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
,且
).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在
上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为
,单调减区间为
.(Ⅱ)当
时,
;当
时,
.
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得
在
上单调递减,在
上单调递增,由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设
,则
.
∵,
,∴
在
上单调递增,
从而得在
上单调递增,又∵
,
∴当时,
,当
时,
,
因此, 的单调增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在
上单调递减,在
上单调递增,
由此可知.
∵,
,
∴.
设,
则
.
∵当时,
,∴
在
上单调递增.
又∵,∴当
时,
;当
时,
.
①当时,
,即
,这时,
;
②当时,
,即
,这时,
.
综上, 在
上的最大值为:当
时,
;
当时,
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线
的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与
轴和
轴的交点分别为
,
为圆
上的任意一点,求
的取值范围.
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【题目】已知幂函数f(x)=,其中2<m<2,m∈Z,满足:
(1)f(x)是区间(0,+∞)上的增函数;
(2)对任意的x∈R,都有f(x) +f(x)=0.
求同时满足条件(1)、(2)的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时,f(x)的值域.
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【题目】中心在原点,焦点在轴上的椭圆,下顶点
,且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)经过点且斜率为
的直线
交椭圆于
,
两点.在
轴上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】某服装厂生产一种服装,每件服装成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,规定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低元,根据市场调查,销售商一次订购不会超过600件.
(1)设一次订购件,服装的实际出厂单价为
元,写出函数
的表达式;
(2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
(
)的离心率
,左、右焦点分别为
、
,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点
,线段
的垂直平分线交
于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)当直线与椭圆
相切,交
于点
,
,当
时,求
的直线方程.
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【题目】假定小麦基本苗数与成熟期有效穗
之间存在相关关系,今测得5组数据如下:
(1)以为解释变量,
为预报变量,画出散点图
(2)求与
之间的回归方程
(3)当基本苗数为时预报有效穗(注:
,
)
,
,
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