Question

【题目】如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．

(1)求证：AB1⊥平面A1BD；

(2)求二面角AA1DB的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积，即可证明平面.

（2）利用两个平面的法向量的夹角余弦值即可得到二面角的余弦值.

(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，C(－1，0，0)，

所以＝(1，2，－)，＝(－2，1，0)，＝(－1，2，)．

因为·＝－2＋2＋0＝0，·＝－1＋4－3＝0，

所以⊥，⊥，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.

又BD与BA1交于点B，所以AB1⊥平面A1BD.

(2)解：连接AD，设平面A1AD的法向量为

n＝(x，y，z)．

＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．

因为n⊥，n⊥，所以

即解得

令z＝1，得n＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量．

由(1)知AB1⊥平面A1BD，所以为平面A1BD的法向量．

cos〈n·〉＝＝＝－，

故二面角AA1DB的余弦值为.