Question

10．设函数g（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{x}$（0＜x≤π），求：
（1）g′（x），（x²g′（x）+1）′；
（2）分别求满足（x²g′（x）+1）′≥0，（x²g′（x）+1）′＜0的x的范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的运算法则，求出g（x）的导数即可，求出x²g′（x）+1的表达式，从而求出其导数即可；
（2）先求出（x²g′（x）+1）′的表达式，解不等式即可．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{x}$（0＜x≤π），
∴g′（x）=$\frac{（x+1）cosx+（x-1）sinx-1}{{x}^{2}}$，
∴（x²g′（x）+1）′
=[（x+1）cosx+（x-1）sinx]′
=cosx-（x+1）sinx+sinx+（x-1）cosx
=x（cosx-sinx）．
（2）由（1）得：（x²g′（x）+1）′=x（cosx-sinx），（0＜x≤π），
令x（cosx-sinx）≥0，得$\sqrt{2}$xsin（x-$\frac{π}{4}$）≤0，解得：0＜x≤$\frac{π}{4}$，
令x（cosx-sinx）＜0，得$\sqrt{2}$xsin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，解得：$\frac{π}{4}$＜x＜π．

点评 本题考查了求函数的导数问题，考查解三角函数的不等式问题，是一道中档题．