【题目】已知函数
(1)求的定义域.
(2)是否存在实数,使是奇函数?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
(3)在(2)的条件下,令,求证:
【答案】
【解析】
试题分析:(1)若函数有意义,则应满足,所以,则函数的定义域为;(2)根据第(1)问可知函数的定义域关于原点对称,若为奇函数,则,即,整理有:,即,所以,即存在实数使函数为奇函数;(3),所以,由于函数为奇函数,所以函数为偶函数,图象关于y轴对称,因此只要证明出当x>0时,即可。当时,,,,所以问题得证。
试题解析:(1)由得:
∴的定义域为
(2)由于的定义域关于原点对称,要使是奇函数,则对于定义域内任意一个,都有即:
解得:
∴存在实数,使是奇函数
(3)在(2)的条件下,,则
的定义域为关于原点对称,且
则为偶函数,其图象关于轴对称。
当时,即又,
∴
当时,由对称性得:分
综上:成立。
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【题目】近几年骑车锻炼越来越受到人们的喜爱,男女老少踊跃参加,我校课外活动小组利用春节放假时间进行社会实践,对年龄段的人群随机抽取人进行了一次“你是否喜欢骑车锻炼”的问卷,将被调查人员分为“喜欢骑车”和“不喜欢骑车”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
(1)补全频率分布直方图,并的值;
(2)从岁年龄段的“喜欢骑车”中采用分层抽样法抽取6人参加骑车锻炼体验活动,求其中选取2名领队来自同一组的概率。
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【题目】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元;停在B区域返券30元;停在C区域不返券. 例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.
(1)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;
(2)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为(元).求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点,是椭圆的右顶点,直线分别与轴交于点,问:以为直径的圆是否恒过轴上的定点?若存在,请求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在A、B、C、D、E、F六个人中任选三人参加比赛,其中A和E不能同时参加比赛,B和C两人要么都参加比赛,要么都不参加,则不同的参赛方案有( )
A.4种
B.6种
C.8种
D.10种
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