【题目】正整数数列的前项和为,前项积,若,则称数列为“数列”.
(1)判断下列数列是否是数列,并说明理由;①2,2,4,8;②8,24,40,56
(2)若数列是数列,且.求和;
(3)是否存在等差数列是数列?请阐述理由.
【答案】(1) ①是;②不是;理由见解析;(2)或;(3)存在.
【解析】
(1)根据新定义的数列,需要满足,所以分别计算两个数列的,,相比观察得答案;
(2)由数列的定义可知,分别表示,由正整数数列可分别求得,即得,从而得答案;
(3) 假设存在这样的等差数列是数列,且此数列是特殊的常数列,则至少三项,分别表示所以,所以a是2和3的公倍数,令,显然该等差数列是Z数列,所以存在;此后类比推理,可到n项.
(1) ①由题可知,此时有
1 | 2 | 3 | 4 | |
2 | ||||
2 | ||||
1 | 1 | 2 | 8 |
该数列满足,所以是数列;
②同理可得:
1 | 2 | 3 | 4 | |
8 | ||||
8 | ||||
1 | 6 | 3360 |
该数列中,所以不是数列.
(2) 因为数列是数列,
那么,则
又因为数列是正整数数列,
若,则,
所以,则或
当时,;同理当时,
故或
(3) )假设:存在这样的等差数列是数列,且此数列是特殊的常数列,则至少三项
所以,所以a是2和3的公倍数
令,显然该等差数列是Z数列,所以存在;
同理,如果是四项,则需满足每项是2,3,4的公倍数,如12,12,12,12
如此类推的有限等差数列,可以有无穷多个,且当为n项时,则各项为的公倍数
故存在等差数列是数列.
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为,,下顶点为,为坐标原点,点到直线的距离为,为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆交于,两点,若直线与直线的斜率之和为,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】[选修4―4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为.
(1)若a=1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.
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【题目】某届奥运会上,中国队以26金18银26铜的成绩列金牌榜第三奖牌榜第二.某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),从被调查的学生中随机抽取了60人,具体的调查结果如下表:
班号 | 一班 | 二班 | 三班 | 四班 | 五班 | 六班 |
频数 | 6 | 10 | 13 | 11 | 9 | 11 |
满意人数 | 5 | 9 | 10 | 6 | 7 | 7 |
(1)在高三年级全体学生中随机抽取1名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率;
(2)若从一班和二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查,记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中,以原点为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线过点与曲线交于不同两点,的中点为,与的交点为,求.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.
(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(2)已知,是曲线上的两点,若曲线上存在点,满足(为坐标原点),求实数的取值范围.
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【题目】足球运动的真谛不仅在于竞技,更在于增强人民体质,培养人们爱国主义、集体主义、顽强拼搏的精神.足球是人类交流的另类“语言”,而其他竞技方式,无论从深度到广度,从速度到力度,都难以与足球比肩,就交流与表达而言,足球是人类最能展露自己天性的运动.
(1)已知某国每年注册足球运动员的人数(万人)与该国年度国际足联排名线性相关,统计数据如下表:
求变量与的线性回归方程,并预测该国年度国际足联排名为第时注册足球运动员的人数;(参考公式:)
(参考数据:;)
(2)从该国中学生中选出名男生进行颠球挑战,若能一次性连续颠球超过个就可获得一个奖励足球,每人只能挑战一次.已知这名男生每人能够一次性连续颠球超过个的概率均为,且相互独立.求这名男生获得奖励足球个数的数学期望及获得奖励足球超过个的概率(精确到).(参考数据:)
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