Question

11．如图，在△ABC中，∠CAB=45°，∠CBA=30°，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC．

（1）证明：A，E，F，B四点共圆；
（2）求$\frac{EF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明：∠A+∠EFB=180°，即可证明A，E，F，B四点共圆；
（2）由△CEF～△ACB得$\frac{EF}{AB}$的值．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，DE⊥AC，∴∠A=∠CDE，
又∵DF⊥BC，∴∠CED=∠CFD=90°，则C、E、D、F四点共圆，
所以∠CDE=∠CFE，∴∠A=∠CFE，
故∠A+∠EFB=180°，A、E、F、B四点共圆；
（2）解：由△CEF～△ACB得，$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{BC}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}CD}}{2CD}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查四点共圆的证明，考查三角形相似性质的运用，属于中档题．