Question

【题目】已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程;

（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.

Answer 1

【答案】（1）y=1（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，分别求出， ，即可求出曲线在点处的切线方程；（2）表示出的表达式，求出的导数，构造，可证时， ； 时， ，再对分类讨论，根据导数，求出单调区间，并可判断有无极值，从而求出极值.

试题解析：（1）

∴ 则切线方程为

（2）依题意得

∴

令，则

∴函数在R上单调递增．

∵

∴时， ； 时，

当时， ，则时， ，函数在（0，+∞）单调递增； 时， ，函数在（﹣∞，0）单调递减．

∴时，函数取得极小值， ，无极大值

当时，令，则，

①时， 时， ， ，函数单调递增；

时， ， ，函数单调递减；

时， ， ，函数单调递增

∴当时，函数取得极小值， ．当时，函数取得极大值，

②时， ， 时，

∴函数在上单调递增，无极值

③时， ， 时， ， ，函数单调递增；

时， ， ，函数单调递减；

时， ， ，函数单调递增．

∴当时，函数取得极大值， ，当时，函数取得极小值,

综上所述：当时，函数在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减， 极小值为﹣1﹣2a，无极大值；

当时，函数在，（0，+∞）上单调递增，在上单调递减， 极小值为，极大值为

当时，函数在上单调递增，无极值

当时，函数在（﹣∞，0），上单调递增，在上单调递减， 极大值为．极小值为．