Question

4．函数f（x）=x+$\frac{lnx}{x}$在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 依题意，可得f（1）=1，f'（1）=2，从而可得所求的切线方程为y-1=2（x-1），继而可得它与两坐标轴围成的三角形的面积．

解答 解：$f（x）=x+\frac{lnx}{x}$，
则$f'（x）=1+\frac{{{l}-lnx}}{x^2}$，
因此f（1）=1，f'（1）=2，
故切线方程为y-1=2（x-1）．
令x=0，可得y=-1；令y=0，可得$x=\frac{1}{2}$．
故切线与两坐标围成的三角形面积为$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查三角形面积的计算，求得函数f（x）=x+$\frac{lnx}{x}$在x=1处的切线方程是关键，属于中档题．