Question

9．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设f（x）=2^x+m是定义在[-1，2]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（3）设f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（-x）=-f（x），根据方程是否有解得出结论；
（2）令方程f（-x）=-f（x）有解得出m的范围；
（3）使用换元法得出方程有解，根据二次函数的性质得出．

解答 解：（1）令f（-x）=-f（x）得ax²+2bx-4a=-（ax²+2bx-4a），
∴整理可得：x²-4=0，显然方程有解，
∴二次函数f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R）是“限制奇函数“．
（2）∵f（x）=2^x+m是定义在[-1，2]上的“限制奇函数”，
∴f（-x）=-f（x）在[-1，2]上有解．
即2^-x+m=-2^x-m在[-1，2]上有解．即m=-$\frac{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}{2}$在[-1，2]上有解，
令t=2^x，g（t）=-$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$，则$\frac{1}{2}$≤t≤4．
则g（t）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，在（1，4]上是减函数，
∵g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，g（1）=-1，g（4）=-$\frac{17}{8}$．
∴-$\frac{17}{8}$≤g（t）≤-1．
即m的取值范围是[-$\frac{17}{8}$，-1]．
（3）∵f（x）是“局部奇函数”，∴f（-x）=-f（x）有解，
∴4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3）有解，
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0有解，
设t=2^x+2^-x，则t=2^x+2^-x≥2，
∴方程t²-2m?t+2m²-8=0在[2，+∞）上有解，
设g（t）=t²-2m?t+2m²-8，
则g（t）的图象的对称轴为x=m，开口向上
∴①若m≥2，则△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，解得2≤m≤2$\sqrt{2}$．
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2时有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{m＜2}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.}\\{△＞0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{m＜2}\\{{m}^{2}-2m-2＜0}\end{array}\right.}\\{-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得1-$\sqrt{3}$≤m＜2．
综上，m的取值范围是[1-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查函数的新定义，考查了转化思想，换元法解题思想，属于中档题．