Question

10．已知函数f（x）=ax²-2x+1在区间（-1，1）上只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先确定当a=0时，f（x）=-2x+1，其零点符合要求，再确定当a≠0时，方程ax²-2x+1=0在（-1，1）内恰有一解，即二次函数f（x）=ax²-2x+1在（-1，1）内恰有一个零点，结合二次函数的图象特征建立不等关系f（-1）•f（1）＜0，求解即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-2x+1，其零点为$\frac{1}{2}$∈（-1，1），
∴a=0成立；  
（2）当a≠0，∵方程ax²-2x+1=0在（-1，1）内恰有一解，
即二次函数f（x）=ax²-2x+1在（-1，1）内恰有一个零点，
∴f（-1）•f（1）＜0，
即（a+3）×（a-1）＜0，
解得：-3＜a＜1，
故a的取值范围为（-3，1）．

点评 本题主要考查函数零点问题．注意零点不是点，是函数f（x）=0时x的值．