Question

【题目】设.若满射，满足：对任意的，，则称为“和谐函数”.记 ，.设“和谐映射”为满足条件：存在正整数，使得（1）当时，若，，则 ；（2）若 ，，则，求的最大可能值.

Answer 1

【答案】1008

【解析】

一方面，注意到2017为素数.

设为模2017的一个原则，则关于模2017的半阶为1008.

令 .

因为，所以，遍历模2017的完系.

于是，映射为满射.

又，即

，

故这样定义的为“和谐映射”.

据的定义知.

此时，由，得

.

注意到，关于模2017的半阶为1008.

故.

从而，所求的.

另一方面，作凸2017边形，记作图.

按如下规则连线：若， ，则连线段.

显然，所连线段为图的对角线，且所连的线段没有重复.否则，若存在两条连线相同，即存在 ，及，使得 ，且或 .

则.

注意到，，这与题设条件矛盾.故所连对角线没有重复.

因为共连有条线段，而凸2017边形共有2017×2017条线段，

所以，.

综上，所求的最大值为1008.