Question

函数f(x)=x3+

3

2

(m+2)x2+6mx+1既有极大值又有极小值，若f（x）的极大值为1，求m的值．

Answer 1

分析：先由条件“既有极大值又有极小值”得f'（x）=0有两个不等实根，再根据极值的求解方法求出极大值，最后对求得的m进行验证．

解答：解：f'（x）=3x²+3（m+2）x+6m=3（x+2）（x+m）
，∵f（x）既有极大值又有极小值，
∴f'（x）=3（x+2）（x+m）=0有两个不等实根-2和-m，
∴m≠2（m∈R）；
若f（-2）=5-6m=1，
则m=

2

3

，当x＜-2时，f'（x）＞0，当-2＜x＜-

2

3

时，
f'（x）＜0，f（x）在x=-2处取的极大值，
所以m=

2

3

合题意．若f(-m)=

1

2

(m3-6m2)+1=1，
则m=0或m=6．当m=0时，
∴f'（x）=3x（x+2）在区间（-2，0）上小于0，在区间（0，+∞）上大于0，f（x）在x=0上取得极小值，不合题意．
当m=6时，
∴f'（x）=3（x+2）（x+6）=0在区间（-∞，-6）上大于0，在区间（-6，-2）上小于0，在x=-m=-6处取得极大值，合题意
．总之m=

2

3

或m=6．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，极值问题是高考中常见问题，属于基础题．