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函数f(x)=x3+
32
(m+2)x2+6mx+1
既有极大值又有极小值,若f(x)的极大值为1,求m的值.
分析:先由条件“既有极大值又有极小值”得f'(x)=0有两个不等实根,再根据极值的求解方法求出极大值,最后对求得的m进行验证.
解答:解:f'(x)=3x2+3(m+2)x+6m=3(x+2)(x+m)
,∵f(x)既有极大值又有极小值,
∴f'(x)=3(x+2)(x+m)=0有两个不等实根-2和-m,
∴m≠2(m∈R);
若f(-2)=5-6m=1,
m=
2
3
,当x<-2时,f'(x)>0,当-2<x<-
2
3
时,
f'(x)<0,f(x)在x=-2处取的极大值,
所以m=
2
3
合题意.若f(-m)=
1
2
(m3-6m2)+1=1

则m=0或m=6.当m=0时,
∴f'(x)=3x(x+2)在区间(-2,0)上小于0,在区间(0,+∞)上大于0,f(x)在x=0上取得极小值,不合题意.
当m=6时,
∴f'(x)=3(x+2)(x+6)=0在区间(-∞,-6)上大于0,在区间(-6,-2)上小于0,在x=-m=-6处取得极大值,合题意
.总之m=
2
3
或m=6.
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的极值,极值问题是高考中常见问题,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f'(x)满足0<f'(x)<1.”
(1)判断函数f(x)=
x
3
+
cosx
4
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意[m,n]30D,都存在-15P[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(x0)成立”,试用这一性质证明:方程f(x)-x=0只有一个实数根;
(3)设
1
5
是方程f(x)-x=0的实数根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当|x2-x1|<1,且|x3-x1|<1时,|f(x3)-f(x2)|<2.

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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件,函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
,则它的对称中心为
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
;计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=-x3+
1
2
ax2+b

(1)若y=f(x)在x=1处的极值为
5
2
,求y=f(x)的解析式并确定其单调区间;
(2)当x∈(0,1]时,若y=f(x)的图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,求当0≤θ≤
π
4
时a的取值范围.

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(2009•孝感模拟)命题p:方程2x2+mx-2m2-5m-3=0有一正根一负根;
命题q:函数f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6
在R上有极值;
若命题“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

判断函数f(x)=
x3(ax-1)ax+1
(a>0,a≠1)
的奇偶性,并加以证明.

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