如图,在平面四边形ABCD中,已知,,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC,设点F为棱AD的中点.
(1)求证:DC平面ABC;
(2)求直线与平面ACD所成角的余弦值.
(1)见解析;(2).
解析试题分析:(1)要证DC平面ABC,则需证DC垂直平面ABC内的两条相交直线,需证AB⊥CD,CD⊥BC,可得结论;(2)求直线与面所成的角,需过直线上一点(异于与面的交点)向面作垂线,此题根据已知条件在面ABC内过点B向AC作垂线BE,再证BE与面ADC垂直,即可找出直线BF与面ACD所成的角,最后在角所在的三角形中求解.
试题解析:(1)证明:在图甲中∵且 ∴ ,,即
在图乙中,∵平面ABD平面BDC , 且平面ABD平面BDC=BD,∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥CD.
又,∴DC⊥BC,且 ∴DC平面ABC. 7分
(2)解:作BE⊥AC,垂足为E,
由(1)知平面ABC⊥平面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,∴BF⊥平面ADC,
∴即为直线与平面ACD所成角
设得AB=,AC=
∴,, ∴,
∴直线与平面ACD所成角的余弦值为. ..14分
考点:1、线面垂直的判定定理;2、直线与面所成角的作法及求发.
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如图1,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结、、,其中.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
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在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥面ABC,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求证:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
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如图,五面体中,四边形ABCD是矩形,DA面ABEF,且DA=1,AB//EF,,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.
(1)求证:PQ//平面BCE;
(2)求证:AM平面ADF;
(3)求二面角A-DF-E的余弦值.
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如图,在四棱锥P—ABCD中,ABCD为平行四边形,且BC⊥平面PAB,PA⊥AB,M为PB的中点,PA=AD=2.
(Ⅰ)求证:PD//平面AMC;
(Ⅱ)若AB=1,求二面角B—AC—M的余弦值。
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如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA底面ABCD,SA=AD,点M是SD的中点,ANSC且交SC于点N.
(Ⅰ)求证:SB∥平面ACM;
(Ⅱ)求证:平面SAC平面AMN.
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在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,ADC-900,AB=AD=PD=1.CD=2.
(I)求证:BC平面PBD:
(II)设E为侧棱PC上异于端点的一点,,试确定的值,使得二面角
E-BD-P的大小为.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
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