Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=，D为AA₁中点，BD与AB₁交于点O，CO丄侧面ABB₁A_1.

(Ⅰ)证明：BC丄AB₁；
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C₁-BD-C的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）因为是矩形，推出，
又，得到，所以，得到,得到          
（Ⅱ）二面角的余弦值为 .

试题分析：（Ⅰ）因为是矩形，

为中点，，，,
所以在直角三角形中,,
在直角三角形中,,
所以=,
又，   ，
所以在直角三角形中，故，
即，               4分
又因为，,
所以
所以，,,
故           6分
（Ⅱ）解法一：
如图，由（Ⅰ）可知，两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

在RtDABD中，可求得,,，
在RtDABB­₁中，可求得 ，
故,,,
所以 ,,
可得，               8分
设平面的法向量为 ，则 ，
即，
取，则 ，         10分
又，
故，
所以，二面角的余弦值为              12分
解法二：连接交于,连接，

因为，所以，又，
所以，故
所以为二面角的平面角            8分
，，  ，
,   ，
在RtDCOB­₁中，
 ，               10分
又    ，
故二面角的余弦值为 .            12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。