Question

某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别P（亿元）Q（亿元），它们与各自的投资金x（亿元）之间的关系分别P（x）=

1

8

2x

Q（x）=

1

16

x，今该公司将5亿元的资金投向这两个项目（允许全部投向某一个项目），其中对甲项目投资x（亿元），此次投资所获得的总利润为y（亿元）．
（Ⅰ）写y关x的函数表达式并注明函数的定义域；
（Ⅱ）求总利润的最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设甲项目投资x亿元，则乙项目投资（3-x）亿元，这两个项目所获得的总利润为y=M（亿元）+N（亿元），由经验公式代入整理即可；
（2）用换元法，再利用配方法，即可求总利润的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设甲项目投资x亿元，则乙项目投资（5-x）亿元，这两个项目所获得的总利润为：y=

1

8

2x

+

1

16

（5-x），x∈[0，5]；
（Ⅱ）设t=

2x

，t∈[0，

10

]，则x=

1

2

t²，
∴y=

1

16

(2t+5-

1

2

t2)=-

1

32

(t-2)2+

7

16

；
∴当t=2，即x=2时，y有最大值为

7

16

．

点评：本题用换元法得到一元二次函数的解析式，所以利用二次函数的性质求其最大值，是基础题．