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    【题目】已知椭圆的离心率为，动直线与椭圆交于点，与轴交于点.为坐标原点，是中点.

    （1）若，求的面积；

    （2）若试探究是否存在常数，使得是定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

    【答案】（1） （2）存在；

    【解析】

    （1）利用椭圆的几何性质，求得椭圆的方程，当时，直线的方程为，联立方程，求得的坐标，结合面积公式，即可求解；

    （2）设，，联立求得，，再利用向量的数量积的运算公式，化简，得到常数时，得出定值，得到结论.

    （1）由题意，椭圆的离心率为，

    所以，解得，

    所以椭圆的方程为，

    当时，直线的方程为，即，

    设，，

    联立消去，整理得，解得，，

    可得，，

    所以的面积为.

    （2）设，，则，，

    联立得，

    其判别式，所以，，

    从而

    ，

    所以当时，，

    即为定值，

    故存在常数，使得为定值.

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    （1）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；

    （2）若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；

    （3）求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率.

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    【题目】2019年国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传国际篮联篮球世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：

    会收看

    不会收看

    男生

    60

    20

    女生

    20

    20

    （1）根据上表说明，能否有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关？

    （2）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球3次均未命中的概率为.

    （i）求乙投球的命中率；

    （ii）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.

    附：，其中，

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

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    【题目】2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：

    购票人数

    1~50

    51~100

    100以上

    门票价格

    13元/人

    11元/人

    9元/人

    两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ）

    A.20B.30C.35D.40

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    【题目】为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了100名高中生，根据问卷调查，得到以下数据：

    作文成绩优秀

    作文成绩一般

    总计

    课外阅读量较大

    35

    20

    55

    课外阅读量一般

    15

    30

    45

    总计

    50

    50

    100

    （1）根据列联表，能否有99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关；

    （2）若用分层抽样的方式从课外阅读量一般的高中生中选取了6名高中生，再从这6名高中生中随机选取2名进行面谈，求面谈的高中生中至少有1名作文成绩优秀的概率．

    附：，其中．

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

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    【题目】已知函数，.

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    （2）求二面角的正弦值.

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    【题目】为了解高中学生对数学课是否喜爱是否和性别有关，随机调查220名高中学生，将他们的意见进行了统计，得到如下的列联表.

    喜爱数学课

    不喜爱数学课

    合计

    男生

    90

    20

    110

    女生

    70

    40

    110

    合计

    160

    60

    220

    （1）根据上面的列联表判断，能否有的把握认为“喜爱数学课与性别”有关；

    （2）为培养学习兴趣，从不喜爱数学课的学生中进行进一步了解，从上述调查的不喜爱数学课的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.

    参考公式：.

    P（）

    0.10

    0.05

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

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