Question

8．已知函数f（x）=（a+1）sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最小正周期为2π，最大值为5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-$\sqrt{15}$在x∈（0，π）上有两个不同的零点α、β，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据函数的周期和最值，建立方程求出a的值，进一步确定函数的解析式．
（2）利用（1）的解析式，进一步求出sin（α+φ）=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，进一步求得：cos（β+φ）=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．当且仅当α+β+2φ=π时，函数g（x）=f（x）-$\sqrt{15}$在x∈（0，π）上有两个不同的零点．最后利用诱导公式求出：cos（α+β）的值．

解答 解：（1）函数f（x）=（a+1）sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最小正周期为2π，最大值为5．
所以：$T=\frac{2π}{ω}=2π$
解得：ω=1．
另：$\sqrt{（a+1）^{2}+{a}^{2}}=5$
解得：a=3．
所以函数f（x）=4sinx+3cosx
=5sin（x+φ），且tanφ=$\frac{3}{4}$，
（2）函数g（x）=f（x）-$\sqrt{15}$在x∈（0，π）上有两个不同的零点α、β，
即：5sin（α+φ）=$\sqrt{15}$
解得：sin（α+φ）=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，sin（β+φ）=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
进一步求得：cos（β+φ）=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
当且仅当α+β+2φ=π时，函数g（x）=f（x）-$\sqrt{15}$在x∈（0，π）上有两个不同的零点．
故：cos（α+β）
=cos（π-2φ）
=-cos2φ
=$-\frac{1-{tan}^{2}φ}{1+{tan}^{2}φ}=-\frac{7}{25}$

点评 本题考查的知识要点：三角函数的周期和最值的应用．函数的零点的应用．