Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n，b_n=$\frac{1}{S_n}$，且a₃b₃=$\frac{1}{2}$，S₃+S₅=21．
（1）求数列{b_n}的通项公式．
（2）求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到首项和公差，进而得到通项；
（2）由b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n（n+1）}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由裂项相消求和计算，结合不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₃b₃=$\frac{1}{2}$，S₃+S₅=21，
可得（a₁+2d）•$\frac{1}{3{a}_{1}+3d}$=$\frac{1}{2}$，且3a₁+3d+5a₁+10d=21，
解得a₁=d=1，
则有a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）证明：b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n（n+1）}$
=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2，
则原不等式成立．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．