Question

已知圆x²+y²=9的内接三角形ABC，点A的坐标是（-3，0），重心G的坐标为（-

1

2

，-1），求：
（1）边BC所在的直线方程；
 （2）弦BC的长度．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来，根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．
（2）由（1）知，BC边所在直线方程为4x-8y-15=0．利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线BC的距离．从而根据弦长公式求出弦BC的长度．

解答： 解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵重心G的坐标为（-

1

2

，-1），
∴

x1+x2-3 3 =- 1 2 y1+y2 3 =-1

．
∴

x1+x2= 3 2 y1+y2=-3

．
∴BC中点的坐标为D（

3

4

，-

3

2

）．
又∵点B，C在圆x²+y²=9上，
∴

x12+y12=9 x22+y22=9

．
两式相减，得
x12-x22+y12-y22=0
 即：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

y1+y2

=

1

2

．
∴边BC所在的直线方程为
y+

3

2

=

1

2

(x-

3

4

)．
即4x-8y-15=0．
（2）由（1）知，边BC所在的直线方程为
4x-8y-15=0．
圆心（0，0）到边BC的距离
d=

15

42+82

=

3

4

5

．
∴弦BC的长度为
2

r2-d2

=2

9- 45 16

=

3 11

2

．

点评：本题考查三角形重心的性质，中点坐标公式，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式等知识的综合运用．属于中档题．