Question

A=a^m+a^-m，B=aⁿ+a^-n，m＞n＞0，a＞0，且a≠1，试比较A、B大小．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：作差可得A-B=(am-an)•

am+n-1

am+n

．分类讨论：a＞1，0＜a＜1，利用指数函数的单调性即可得出．

解答： 解：A-B=a^m+a^-m-（aⁿ+a^-n）=am-an+

an-am

anam

=(am-an)•

am+n-1

am+n

．
①当a＞1时，∵m＞n＞0，∴a^m＞aⁿ，a^m+n＞1，a^m+n＞a⁰=1，∴(am-an)•

am+n-1

am+n

＞0．
∴A-B＞0，即A＞B．
②当0＜a＜1时，∵m＞n＞0，∴a^m＜aⁿ，a^m+n＜a⁰=1，a^m+n＞0，∴(am-an)•

am+n-1

am+n

＞0．
∴A-B＞0即A＞B．
综上可知：无论a＞1，还是0＜a＜1，都有A＞B．

点评：本题考查了“作差法”比较两个数的大小、指数函数的单调性，属于中档题．