Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{a}{x}+1，（x＞1）}\\{-{x}^{2}+2x（x≤1）}\end{array}\right.$在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． （0，1]
• C． [-1，1]
• D． （-1，1]

Answer 1

分析 根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：x≤1时，f（x）=-（x-1）²+1≤1，
x＞1时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1，f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在（1，+∞）恒成立，
故a≤x²在（1，+∞）恒成立，
故a≤1，
而1+a+1≥1，即a≥-1，
综上，a∈[-1，1]，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查分段函数问题，是一道中档题．